SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESLa siguiente información que te presento te ayudará a complementar tus conocimientos respecto a sistemas de ecuaciones lineales.
Un Sistema de
Ecuaciones Lineales está formado por el conjunto de Ecuaciones con dos
variables como mínimo, donde el Conjunto Solución ( C.S. ) estará formado por
los valores de las variables (números reales ) que satisfacen simultáneamente
TODAS las Ecuaciones Lineales.
- Observa el siguiente sistema de ecuaciones
lineales:
Si multiplicas por 2 la ecuación x+y=3 se
obtiene 2x+2y=6. Al compararla con la ecuación 2x + 2y = 11 notarás que la expresión
2x+2y es igual a 6 y también a 11 lo que no es posible. A estos sistemas de
ecuaciones se les denomina INCOMPATIBLE y su solución es nula.
Graficando:
Observa este sistema de ecuaciones lineales
x + y = 7
3x + 3y = 21
Si multiplicas por 3 la primera ecuación obtendrías 3x+3y=21 que es idéntica a la segunda ecuación por lo que existen muchos valores de x e y que satisfacen ambas ecuaciones. Por ejemplo: (1;6); (5;2); (4;3); (0,7; 6,3); … A estos sistemas de ecuaciones se les denomina COMPATIBLE INDETERMINADO
Observa el sistema de ecuaciones
x + y = 7
3x + y = 13
Existe un solo par
(3;4) que satisface ambas ecuaciones:
3+4=7
3(3)+4=13
A estos sistemas de
ecuaciones se les denomina COMPATIBLES DETERMINADOS
Graficando:
Resolución de un
Sistema de Ecuaciones Lineales:
Existen varias formas de resolver los sistemas de
ecuaciones lineales, es decir encontrar el conjunto solución que satisface las
dos ecuaciones.
-
Método
de sustitución
-
Método
de igualación
-
Método
de reducción
-
Método
de determinante
Para saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene
solución, se debe de cumplir que si hay dos variables, también tienen que
haber el mismo número de ecuaciones.
Resolveremos el sistema de ecuaciones presentados por los
dos Métodos:
1.
Método de
sustitución.-
Consiste en despejar una variable de cualquiera de las ecuaciones y luego
sustituir su valor en la otra ecuación. Veamos:
5x – y = -20
Ecuación I
10x – y = 0
Ecuación II
Despejamos y en la Ecuación II: y = 10x
Reemplazamos este valor en la Ecuación I
: 5x – 10x = -20
-5x = -20
X = 4
Ahora este valor lo reemplazamos en
cualquiera de las ecuaciones; por ejemplo en la II: 10(4)- y = 0
Y = 40
Por lo tanto:
C.S. = {( 4 ; 40 )}
Significa que cuando x = 4 e y = 40 se
verifican ambas ecuaciones.
2.
Método de
igualación.-
Consiste en despejar una de las dos variables en ambas ecuaciones y luego
igualar estos valores.
Veamos:
1° Despejamos el valor de y en ambas
Ecuaciones:
5x – y = -20
Ecuación I ….… y
= 5x +20
10x – y = 0
Ecuación II . …… y =
10x
2° Igualamos estos valores despejados:
5x +20 = 10x
20 = 5x
x = 4
3° Ahora este valor de x lo reemplazamos en
cualquiera de las Ecuaciones:
y = 10(4) =
40
4° Por lo tanto el C.S. = { (
4;40 )}
Significa que cuando x = 4 e y = 40 se
verifican ambas ecuaciones, y son los únicos valores.
3.
Método de
reducción.-
Consiste en ordenar las dos ecuaciones, respetando que las variables estén en
la misma columna y los términos independientes estén en el segundo miembro,
luego busco tener términos opuestos para eliminar una de las dos variables.
Veamos:
5x – y = -20
Ecuación I
10x – y = 0
Ecuación II
Observamos que nos es más fácil eliminar los
términos que tienen a la variable y, por lo que tengo que buscar TÉRMINOS
OPUESTOS. Para lograr esto multiplico a la Ecuación I por -1
-5x + y = 20
Ecuación III
10x – y = 0
Ecuación II
Ahora adicionamos miembro a miembro las
Ecuaciones II y III, para que se eliminen los términos que contienen a la
variable “ y ”. Tenemos:
5x
= 20
x
= 20/5
x
= 4
Si tenemos el valor de la variable x, podemos
reemplazar ese valor en cualquiera de las Ecuaciones para poder calcular el
valor de la variable y
Reemplazamos en la Ecuación II: 10(4) – y = 0
40 = y
Por
lo tanto: C.S. = {( 4 ; 40 ) }
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